Hier scheint mir ein paar Puzzlestückchen fürs Gesamtbild zu fehlen. Macht nix, müsst Ihr hier nicht schreiben, aber Euer Anwalt sollte alles wissen. Wenn ich es recht verstehe: Ihr habt einen eingestuften Hund mit entsprechenden Auflagen aus dem Tierschutz übernommen. Ihr wart Euch dessen bewusst, dass der Hund eingestuft ist und die Übernahme daher auch von vorneherein erst einmal befristet gestattet war. Dafür habt Ihr für ihn eine vorläufige Haltungsgenehmigung bekommen. In dieser Zeit musstet Ihr erbringen: Sachkunde, Wesenstest bzw. Verhaltensgutachten, Nachweis über den Besuch einer Hundeschule.
Die entsprechenden Nachweise konntet Ihr erbringen, ist das richtig? Nichtsdestotrotz wurde bei der Prüfung, ob die befristete Haltungserlaubnis in eine Unbefristete gewandelt werden kann, entschieden, dass die für das Führen eines erwiesenermaßen gefährlichen Hunds erforderliche hohe Zuverlässigkeit von Euch nicht erbracht werden kann. Was (wie Du schreibst) möglicherweise damit etwas zu tun haben könnte, dass Ihr wegen des Verhaltens Eures Hunds an der Leine eine Nachbarin schon mehrfach Beschwerde beim Veterinäramt eingelegt hat. Entsprechend gabs jetzt die Auflage, den Hund entweder wieder abzugeben oder auf eigene Kosten zuverlässig gesichert unterzubringen. Das ist sehr traurig und kommt auch nicht oft vor. Dieses Risiko geht man leider trotzdem ein, wenn man einen als gefährlich eingestuften Hund übernimmt, das ist erstmal „auf Probe.“
Wieso jetzt der Hund eingeschläfert werden sollte, weil entschieden wurde, dass Ihr ihn nicht sicher führen könnt, erschließt sich mir nicht. Nach dem was Du schilderst, habt Ihr auch keine Grundlage dafür, das zu verlangen. Üblicherweise ist diese Möglichkeit bei der Übernahme eines gefährlichen Hunds aus dem Tierschutz mitbedacht und das vermittelnde Tierheim nimmt den Hund wieder zurück. Habt Ihr das Tierheim überhaupt schon kontaktiert? Was sagt den der Übergabe ertrag dazu?
Wenn Ihr den Hund behalten möchtet, dann schaltet einen Anwalt ein. Der kann Akteneinsicht verlangen und Euch weitergehend beraten. Wenn Ihr schon annehmt, dass Beschwerden gegen Euch aus der Nachbarschaft eine Rolle spielen, dann schadet es sicher nicht, weiterhin stark an dem Grund für diese Beschwerden zu arbeiten. Und dabei auch zu reflektieren, wie begründet oder zumindest verständlich die Angst und Sorge Eurer Nachbarin ist, die zu den Beschwerden veranlasst hat, das kann hier ja keiner beurteilen. Sagt und schreibt da aber nix zu, ohne erstmal mit einem Anwalt darüber gesprochen zu haben.
Und wenns unterm Strich nicht so aussieht, als sei der Platz bei Euch für den Hund das Richtige: Es kann sich trotzdem ein Platz finden. Du hast ja nicht geschrieben, warum er eingestuft wurde. Aber ich hab ein paar Hunde erlebt, die erst im zweiten Anlauf das richtige Zuhause gefunden haben.