Unterm Strich betrachtet ist es an sich ganz einfach: Du hast aktuell keine realistische andere Chance, als Dich ans abgebende Tierheim zu wenden.
Privatvermittlung kommt nicht in Frage. Auch ganz unabhängig vom Abgabeverbot nach §17 Berliner Hundegesetz ist es meistens keine gute Idee, dass ein Laie einen problematischen Hund über Kleinanzeigen vermittelt. Und wie Du selbst schon bemerkt hast, sind die spezialisierten Vereine zu gut ausgelastet, um gerne einen Hund einer anderen Orga zu übernehmen.
So wie ich das sehe, fragst Du also entweder weiter bei diversen Vereinen an oder wendest Dich ans abgebende Tierheim. Wenn Du es auf legalem Weg machen möchtest. Wenn nicht, ist das Forum hier nun definitiv nicht die Anlaufstelle für Tipps.