Habt ihr schon eine Lösung gefunden?
Ansonsten wäre meine Vorschlag:
Eine weiß beschichtete Platte (Regalbrett o.ä.) aus dem Baumarkt in den Rahmen einpassen. Die kommt man in Baumärkten auch genau auf das Maß zugeschnitten. Eventuell noch weißes Klebeband an den Kanten anbringen, damit die Kanten gegen Regenwasser geschützt sind. Sieht ordentlich aus. Foto machen, und wenn sie sich beschwert beim Vermieter oder sie selbst die Platte entfernt, den Vermieter kontaktieren und ihm das Foto zeigen, wie ordentlich das aussieht/aussah.
Wegen Bedenken, dass der Vermieter dann verärgert ist, dann sag ihm, dass der Nachbarshund immer rübergeflitzt ist und du damit dieses verhindern wolltest, damit es keinen Ärger gibt usw.
Ich kann mir beim besten Willen keinen Vermieter vorstellen, der dir nicht dankbar ist für deinen Versuch, Ärger zu vermeiden, und von dir verlangt, einen frechen Nachbarshund auf deinem (!) Balkon zu dulden.