Es handelt sich um einen Arbeitsunfall.
Wenn der Sitter angestellt ist (sei es über eine spezielle Firma oder direkt beim Auftraggeber z.B. als 450,- Euro-Job) zahlt die Berufsgenossenschaft in solch einem Fall.
Wenn man selbstständig ist, muss man vorher schauen, ob man freiwillig in die BG für solch einen Fall einzahlt, mit der eigenen Krankenversicherung Zuzatzleistungen vereinbart oder andere Versicherungen abschließt. Tut man nichts davon, hat man gegebenfalls Pech gehabt.
So viel zu der Frage, wer die Kosten übernimmt.
Auch deshalb ist von Schwarzarbeit abzuraten....Wenn etwas passiert, zahlt in der Regel niemand.