Dass es durchaus möglich ist, dass Mitarbeiter vom TS "übermotiviert" handeln, habe ich selbst erleben müssen, weswegen ich bei meiner Rechtschutzversicherung angerufen habe, die eine Anwalts-Hotline haben. Sobald man einen Übergabevertrag unterschrieben hat, geht das Eigentum an den neuen HH über. Außerdem bezahlen wir auch die Hundesteuer. Rechtlich gesehen hat der TS keinerlei Handhabe, wenn keine TS-relevanten Umstände vorliegen. (Wenn im Übergabevertrag was von Eigentumsvorbehalt drin steht, sieht die Lage aber vermutlich schwieriger aus).
Dadurch, dass Geld bezahlt wurde, gilt das als Kaufvertrag und damit bist du Eigentümerin des Hundes. Lass den Anwalt alles klären.