Ich hätte da bei Franz auch keine Bedenken und wenn du einen Hund hast, der gut allein bleiben kann, dann finde ich es für 1 Tag pro Woche nicht unzumutbar (gerade, weil du ja schon vieles versucht hast), solange er dann nach Feierabend deine Prio 1 ist und den Rest der Woche entsprechend Ansprache und Auslastung hat.
Ich habe meine 2,5 Bürotage übrigens auf 5 Tage aufgeteilt, also mache halbtags Büro/halbtags Home Office, weiß nicht, ob das für dich evtl. auch eine Variante wäre.
Franz ist es wurscht, ob der 1, 3 oder 5h alleine ist, der liegt da und pennt, meistens weiß ich nichtmal wo er sich in der Wohnung gerade aufhält. Der muss auch nicht alle 4h raus.
Ich mache aktuell noch fast komplett Home Office und an manchen Tagen (heute zB), gehe ich früh gegen 7.30/8Uhr und jetzt ist es 16 Uhr und wir gehen jetzt dann mal raus, weil ich das sage. Er hätte sich durchgehend melden können, hat er nicht, musste nicht. Der hat jetzt soft 8h im Bad (denk ich mal) durchgeschlafen, trotz dessen, dass ich ja auch da bin und Geräusche mache.
Mir wäre es wichtig, dass ich am Tag davor nochmal ne riiiiiichtig große Runde gegangen wäre und ihn schön auslaste, damit er an dem "langen" Tag dann auch wirklich gut ruhen kann und sich nicht langweilt. Das mit der Gartenklappe würde ich aus einem Sicherheitsbedürfnis heraus auch nicht machen, da hätte ich Sorge um den Hund und auch mein Haus.
Je nachdem, wie Eure Auslastung ausschaut und wie Dein Hund so drauf ist, kann allzu viel Programm direkt vorm Alleinebleiben kontraproduktiv sein - wenn nämlich der Hund durch das vorausgegangene Programm kräftig unter Hormoneinfluss steht. Eher das „ganz normale“ Programm, nachdem er auch gut und schnell runterfahren und entspannen kann.