Bei einigen Tierheimen oder Orgas musst du sogar einen schriftlichen Nachweis der Erlaubnis zur Hundehaltung vorlegen, eure Idee ist also gar nicht so weit hergeholt. Außerdem vermeidet ihr natürlich eine mögliche Enttäuschung, falls es doch nicht klappen sollte.
Ob ihr das ganze dann an die Hausverwaltung oder an den Vermieter adressieren solltet, wird euch dieser dann ja sagen. Wenn ihr euch direkt an die Hausverwaltung wendet, wird diese wahrscheinlich nach Formulierung im Mietvertrag entscheiden und entweder positiv, negativ oder den Vermieter eh ansprechen und mit seiner Rückmeldung antworten. Bei einem guten Verhältnis zu ihm würde ich ihn also vorab freundlich darauf ansprechen, dass ihr die Hundeerlaubnis gerne schriftlich hättet, so dass beide Seiten abgesichert sind. Die Erwähnung der Haftpflichtversicherung ist auf jeden Fall gut
Zur (rechtlichen?) Absicherung im Schreiben kann bestimmt @Jessica83 noch was schlaues schreiben...