Auf einen Hund kannst du beschränken. Bei Katzen wird's schon schwieriger. Eigentlich sind Katzen auch genehmigungspflichtig. Allerdings gibt es auch Gerichtsurteile, nach denen die Katzen (und Kleinsthunde) unter Kleintiere fallen und damit gar nicht verboten werden dürfen. Insbesondere Wohnungskatzen, weil die niemanden belästigen und damit kein Grund für eine Verbot besteht. D.h. du kannst als Vermieter keinen Grund zur Ablehnung abgeben (und das musst du, "ich will nicht" oder Angst vor Schäden ist keiner) und damit auch die Katzenhaltung weder beschränken noch verbieten.
Und wenn ein Vermieter im Ausland ist, ist die Hemmschwelle, sich ohne Genehmigung was anzuschaffen, eh noch sehr viel geringer.
Für die Schäden muss der Mieter sowieso aufkommen, egal ob er oder seine Tiere sie verursacht haben. Allerdings ist es so, dass du dann als Vermieter mehr Schäden als vertragsmäßigen Gebrauch (Kratzspuren im Boden z.B.) in Kauf nehmen musst, wenn du die Tiere genehmigst.
Nicht jede Hundehaftpflicht deckt Schäden an gemieteten Objekten ab, aber theoretisch kann dir das egal sein, zahlen muss der Halter so oder so. Die Frage ist halt nur, ob du das riskieren willlst, dass er evtl. nicht zahlen kann, will bzw. nur in kleinen Raten etc.
Bestätigung vom Vormieter ist zwar nicht schlecht, aber teilweise schwer zu kriegen für die Mieter. In meiner ersten Wohnung hätte ich das sicherlich nicht, weil sich da weder Hausverwaltung noch Eigentümer drum hätten kümmern wollen. Ich denke, da gibt es viele, wo man als Mieter an so ein "sinnloses" Schreiben (im Sinne derer, die es erstellen müssen) nicht dran kommt. V.a. weil man das ja teils lange vor der Kündigung bräuchte.
Bewerbungsbogen kannst du natürlich anfordern, wenn du willst.