Manche Paarungen passen einfach nicht - und das hat weder mit dem Hund an sich, noch mit dir als Menschen zu tun, sondern mit einer Verkettung von unpassenden Umständen.
Ich finde, dass es, gerade wenn man sich als Hundemenschen bezeichnet, schon einige Hunde für sich passend erzogen hat und sieht, dass man bei diesem einen Hund trotz Bemühen sehr schlecht voran kommt, auch einen gewissen Mut zeigt, wenn man sich eingesteht, dass man gemeinsam nicht glücklich wird.
Ich denke zwar, dass eure Probleme mit gutem Training (va. mit einem Trainer, der einen mit objektivem Blick von außen unterstützt und im besten Fall zu medizinischer Abklärung rät) lösbar wären, aber wenn du das finanziell nicht leisten kannst, ist eine Abgabe durchaus eine valide Möglichkeit.
Falls im Vertrag vom Tierheim keine Klausel steht, dass der Hund im Fall einer Abgabe zurück muss, würde ich (mein Gewissen käme damit besser klar) mich selbst nach einem neuen Halter umsehen und sicherstellen, dass dieser über die bestehenden Probleme ausführlich informiert ist.
Das TH hat ja, ob aus Unwissenheit, oder aus Unterschlagung sei mal dahingestellt, den Hund nicht angemessen beschrieben. Daher hätte ich Angst, dass sie über das TH zum Wanderpokal wird.