Nimmt er denn außerhalb stressiger Trainingssituationen Futter?
Wenn mein Hund unsicher ist, nimmt der auch kein Futter mehr aus der Hand (obwohl sehr verfressen). Wenn ich es aber auf den Boden werfe und sie sucht es sich dann da selbst, klappt das deutlich länger und funktioniert umso besser, je weniger Druck ich aufbaue (auch unbewusst, indem ich schaue, ob sie denn auch frisst).
Ich würde daher tatsächlich zu Hause und ganz entspannt belohnen üben. Ohne, dass der Hund dafür irgendwas tun muss. "Fein", Futter hinwerfen, Sache abhaken. Falls er so gar nichts frisst, kannst du auch versuchen, es in den Napf zu werfen, wenn er den kennt und gut daraus frisst.
Ein Tierschutzhund hat oftmals einfach nie gelernt, mit dem Menschen zu kooperieren, muss lernen quasi erst mal lernen. Dazu kommen dann eventuell noch Unsicherheiten gegenüber dem Menschen (darf ich das jetzt wirklich nehmen? Beansprucht der Mensch das jetzt vielleicht doch für sich?) und der Hund macht dicht. Auch scheinbar einfache Sachen überfordern so einen Hund erst mal.
Ich kann mich noch an den völlig fassungslosen Blick meiner Hündin erinnern, als es irgendwann nach Wochen kleinschrittigsten Trainings klick gemacht hatte. "Ich muss einfach meinen Hintern auf den Boden packen und schon gibt's Essen 
Kann es wirklich so einfach sein
Oh Gott, das funktioniert ja auch ein 2. Mal... Und ein 3. Mal 
Wenn die Hunde das System einmal verstanden haben, können sie es dann idR schnell auf andere Situationen übertragen, aber bis es soweit ist, dauert es oftmals eine Weile. Und üben sollte man in Situationen, in denen der Hund entspannt ist und sich wohlfühlt und es um nichts Wichtiges geht (dann ist man selbst entspannter).