Also ich war die letzten Jahre meines Berufslebens u.a. für Hundeanmeldung, Hundesteuer etc zuständig - in Bayern.
Zunächst mal muss man wissen, dass das Handling bei diesen Sachen von Ort zu Ort unterschiedlich sein kann, denn da kann eben jede Gemeinde ihre eigene Verordnung dazu aufstellen.
Dass jedoch da der Vermieter informiert wird, das habe ich noch nie gehört. Warum auch? Der Hund wird angemeldet ( da wird evtl nur überprüft, ob der Anmeldende auch wirklich am Ort gemeldet ist) und an die Adresse wird der Steuerbescheid gesendet.
Bei Umzug im gleichen Ort genügt die "normale" Ummeldung, dahin kommt dann der Bescheid.
Bei Umzug in einen anderen Ort wird der Wegzug und/oder der Zuzug bei der anderen Gemeinde vom Amt gemeldet, weil dabei die im vorherigen Ort evtl schon bezahlte Hundesteuer für das laufende Jahr verrechnet wird.