Das Quieken Deines Hundes ist eine Reaktion auf Dein Verhalten, auch wenn es nicht (mehr) unbedingt seinem Verhalten unmittelbar vorausgeht.
Schau Dir nochmal die Hundeschulsequenz an: Dein Hund ist ruhig, wird umgerannt. Dann kommen wieder Hunde angerannt, und in Befürchtung, dass er gleich wieder umgerannt wird, quiekt er erst, um seinem Gegenüber ganz deutlich zu machen, dass er nichts schlimmes tut.
Ähnliches hat er vermutlich bei Dir gelernt. Du schreibst mehrfach, dass Du Dir Deinen Hund "schnappst", wenn er nicht in die Küche soll, nicht ins Schlafzimmer soll, um ihn auf seinen Platz zu bringen. Was genau meinst Du? Trägst Du ihn dann zum gewünschten Platz?
Die Ursachen seines Quiekens liegen vermutlich in einer (unabsichtlich) bedrohlichen Körpersprache, oder einem unvermittelten Hochheben, einem (auch einmalig) zu ruppigen Umgang... das können wir hier kaum mehr nachvollziehen. Auch Pfoten sind übrigens vielen Hunden heilig, dass man sie einfach in die Hand nehmen kann, muss man bei einigen gezielt trainieren.
Wichtig für Dich dürfte eher sein, wie Du in Zukunft damit umgehst: beobachte Deinen Hund, in welchen Situationen er anfängt, unsicher zu sein oder zu beschwichtigen. Nimm sein Quieken ernst. Entwickle ein Gefühl dafür, was für ihn ok ist und was nicht (Tonlage, Lautstärke, Körpersprache, anfassen, Geschwindigkeit in der Bewegung, hochheben, usw.) Bleib geduldig und übe in Minischritten mit Deinem Hund diese Situationen, die er offenbar als bedrohlich empfindet.