Ich finde es aller Ehren wert, dass du dem Verwandten aus der Klemme helfen möchtest, zumal niemand anders in der Familie diese verantwortungsvolle Aufgabe übernehmen möchte. Es mag sicher auch gute Gründe geben, warum du jetzt sagst, den Hund möchtest du nicht komplett weggeben. Das kann ich alles aus der Ferne nicht beurteilen.
Aber rein vom Bauchgefühl wäre das in dieser Situation für mich eine Aufgabe, die nicht zu leisten wäre. Einen Hund kann man nicht dauerhaft - entschuldige, wenn das Wort etwas lieblos klingt - wegorganisieren, dann wird man dem Tier nciht mehr gerecht. Es ist sicherlich völlig in Ordnung, immer wieder mal eine Betreuungslösung zu suchen, aber von vorneherein und auf dauer angelegt finde ich das doch etwas schwierig. Neben dem bereits angesprochenen Kostenaspekt muss man ja noch etwas betrachten: Was ist der Hund bislang gewöhnt? Wie wurde er bislang gehalten und wo und dergleichen? Überlege auch gut, ob du dem Hund und seinen speziellen Anforderungen (dazu können die Aussie-Besitzer hier mehr sagen) gewachsen bist.
Bitte nutze die Zeit, die du jetzt noch hast, um zu überlegen, ob es nicht doch noch eine andere, möglicherweise hundegerechtere Lösung geben kann.