Ist euer Haus denn relativ offen gebaut oder mit vielen eigenen Zimmern? Also zb mit durch Türen getrennten Vorzimmer, Küche und Wohnzimmer oder quasi "alles in einem" als offener Bereich?
Bei einem offenen Erdgeschoss ist es schwieriger, aber wenn ihr viele Türen habt und die Katze viel draußen ist, würde ich die beiden einfach komplett Trennen. Dann hat man weniger Stress weil man nicht ständig die Aufmerksamkeit beim Hund haben muss und weniger Risiko weil sie ja getrennt sind.
Also immer wenn die Katze im Haus ist, entweder die Katze in ein Zimmer einsperren wenn sie eh gerade döst oder die Hündin in ein Zimmer sperren. Man muss die Hündin ja nicht "wegsperrren" in diesem Sinne, reicht ja wenn man sie an der Leine immer in das Zimmer mitnimmt in dem man sowieso gerade sein will. Hauptsache geschlossene Türe und keine Mögichkeit bei einem Zimmerwechsel ohne Leine (oder festhalten am Halsband) zu entwischen.
Auf ein Treppengitter als alleinige Sicherheitsmaßnahme würde ich mich nicht verlassen. Wie du schon gesagt hast, es kann passieren dass die Katze unbemerkt runterkommt und die Hündin schneller regiert als du schauen kannst. Als zusätzliche Sicherheit ist das Treppengitter natürlich trotzdem nicht schlecht.
Was ihr noch Bedenken müsst wenn die Katze ein Freigänger ist: der Garten. Wahrscheinlich liegt die Katze ja auch mal im Garten herum oder muss durch den Garten um ins Haus zu kommen.
Ich würde mich nicht darauf verlassen, dass sie sich nicht in den Garten traut wenn die Hündin auch draußen ist. (Wie gesagt, mit jeder kleiner Unachtsamkeit riskiert ihr evtl das Leben eurer Katze.)
Das bedeutet, dass die Hündin nur dann in den Garten kommen sollte, wenn die Katze im Haus ist und sowohl die Katze keine Möglichkeit hat rauszukommen (hier auch auf Fenster achten) und die Hündin keine Möglichkeit hat ins Haus zu kommen.
Ihr solltet die Haustüre also nie öffnen bzw offen lassen (auch nicht zum lüften oder Einkäufe reintragen oder wenn der Postbote kommt) ohne dass entweder die Katze oder die Hündin in ein extra Zimmer gesperrt ist. Wenn ihr vom Spaziergang heimkommt solltest du die Leine auch nicht gleich abmachen, sondern erst wenn die Türe geschlossen ist und du sicher weißt wo sich die Katze befindet.
Auch wenn ihr nachts schlaft, muss unbedingt entweder die Hündin oder die Katze in ein Zimmer gesperrt werden, damit nichts passieren kann.
Ihr müsst leider auch Bedenken, dass es neben den Problemen mit der Katze noch viele andere "Fehlerquellen" mit der Hündin geben könnte die das Zusammenleben erschweren. Vielleicht kann sie bei dir plötzlich nicht mehr alleine bleiben, zerstört Sachen, wird bei Stress unsauber oder sie kommt trotz Verträglichkeit auf Dauer nicht mit diesem (im Vergleich zur Straße) engen Zusammenleben mit anderen Hunden doch nicht klar.
Wenn es eine andere Betreuungsoption gibt, würde ich die Hündin nicht aufnehmen bzw mich nur als Notfalllösung anbieten wenn sie eine andere Betreuung findet.
Vielleicht findet sich auch eine Zwischenlösung, zb dass die Hündin bei jemand anderem wohnt und ihr sie nur zum Spazierengehen abholt, je nach Wunsch/Möglichkeit entweder für alle Runden oder nur 1-2 große Runden am Tag. Vielleicht gibts ja im Umkreis der Freundin jemanden der nicht mehr so gut zu Fuß ist aber viel Tagesfreizeit und keine eigenen Haustiere bzw keine Katzen hat.
Wenn die Hündin vorher auf einer Pflegestelle war, vllt gibt es die Mögichkeit, dass sie in der Zeit evtl nochmal auf die Pflegestelle kann? Zur Not mit Bezahlung bzw vorher vereinbarter Spende an den Tierschutzverein o.ä.