Zum Thema Futter wurde ja schon einiges gesagt. Ich denke es ist kein Wunder, dass er Hunger hat. Gib ihm knapp das doppelte von dem was er vorher bekommen hat und dann passt es, denke ich.
Zum Hinterherlaufen: In der ersten Zeit (und das ist ja noch so) ist das einfach total normal. Er muss erstmal verstehen, dass er bei euch sicher ist und du zurück kommst, wenn du den Raum verlässt. Also da würde ich noch gar nichts unternehmen, sondern weiterhin einfach zwischen den Räumen wechseln und ihn gar nicht beachten dabei. Meine Iloy ist mir auch anfangs überall nachgelaufen, das hat sich mit zunehmendem Sicherheitsgefühl im neuen Zuhause dann auch erledigt. :)
Zum Bellen kann ich noch nicht so viel sagen, das würde ich ggf. in der Hundeschule ansprechen. Aber wenn es unerwünscht ist, darf man das ruhig unterbinden (wenn er ein Abbruchsignal kennt wie zB "Nein") und ihn dann auch ruhig loben, wenn er danach ruhig bleibt. Da muss man aber auch individuell auf den Hund gucken, manchen tut es weniger gut danach gelobt zu werden, weil sie dann wieder munterer werden.
Stubenreinheit heißt ja nicht, dass der Hund schon x Stunden aushalten kann. Evtl. hat der Züchter das besser einschätzen können, wann der Kleine mal raus musste. So kleine Rassen haben ja auch ne kleinere Blase und können dementsprechend noch gar nicht so gut einhalten. Ich würde es weiterhin (wie bei Welpen empfohlen) so machen, dass ich nach dem Fressen, Schlafen und Spielen mit ihm rausgehen würde.