Wie gesagt, um das Verschenken soll es hier gar nicht gehen, sondern um alles andere drum herum, die Kosten etc.
Auch wenn Du das nicht hören willst: es geht eben doch darum. Denn ein Geschenk mit Einschränkungen ist eine schwierige Sache und endet häufig im Konflikt. Ich würde, wenn ich das Pferd übernehme auf Bedingungen verzichten wollen. Entweder wird mir das Tier vertraglich übereignet und sämtliche Dokumente werden mir nicht nur übergeben, sondern auch auf mich abgeändert, oder alles bleibt wie es ist und man einigt sich auf einen Pflegevertrag - dann wollte ich aber auch die Kosten nicht ganz alleine tragen.
In Deinem Fall kann es nicht nur zu Konflikten kommen, wenn der jetzige Besitzer sein Tier plötzlich zurück will und behauptet, er hätte es Dir gar nie geschenkt, sondern auch, wenn Eure Meinungen über einen Stallwechsel kollidieren. Angenommen, das Tier muss aus irgendwelchen Krankheitsgründen besonders gefüttert oder gehalten werden und das ist im jetzigen Stall eben nicht möglich - was dann? Was, wenn Du einen Stall ausfindig gemacht hast, der alle Anforderungen erfüllt, doch der Noch-Besitzer stellt sich - entgegen aller Vernunft - stur?
Ich würde mich auf alle Seiten versichern wollen - vertraglich - und zwar so, dass glasklar ist, wem das Tier gehört und wer wann was und wie lange damit anstellen darf.