Erstmal herzlich Willkommen im Forum,
das Wichtigste in der Welpen"erziehung" ist viel Humor und die Erkenntnis, dass ein Welpe ein Baby ist und nicht einfach ein kleiner Hund.
Du kannst natürlich einem Welpen freundlich!! ein paar Grenzen setzen, aber die Erziehung solltest Du hintenan stellen.
Viel wichtiger ist das gegenseitige Kennenlernen, viel Spiel und Spaß und der Welpe muss natürlich auch erstmal die Umwelt kennenlernen.
Wenn Dein Welpe eine tiefe und innige Beziehung zu Dir aufbaut, ist der Grundstein für eine problemlose Erziehung gelegt.
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.) Ich möchte ihm schon früh konsequent zeigen, was er darf und was nicht. Das führt allerdings dazu, dass er ganz schön häufig ein scharfes "NEIN" oder "PFUI" von mir zu hören bekommt. So häufig, dass es schon einen erheblichen Anteil unserer gemeinsamen Zeit einnimmt.
Ein Welpe braucht keine scharfen Worte, er macht nichts verkehrt, er verhält sich wie ein Welpe. Er erkundet die Welt mit den Zähnen. Er weiss nicht, dass Teppiche, Schuhe und Vorhänge eine Bedeutung für den Menschen haben.
Räume alles weg, was heil bleiben soll. Gib dem Welpen Sachen, die ungefährlich sind, die er zerpflücken darf. Geht er z. B. an den Teppich, dann reicht ein "kssst" und er wird erstaunt gucken. Dann lenkst Du ihn mit etwas ab, was er haben darf.
Gehe viel mit dem Welpen in die Natur, auf eine Wiese, in einen Park, wo er die Welt mit den Zähnen erkunden darf.
Wenn man einen Welpen ständig deckelt mit Verboten, dann wird er irgendwann resignieren oder sich gegen Dich auflehnen - spätestens in der Pubertät.
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2.) Ich wohne in Berlin, und ein jeder der in einer Großstadt lebt, wird das Problem kennen. Wenn man mit ihm vor die Tür geht, gibt es viele spannende Dinge zu entdecken. Leider sind die Dinge so spannend, z.B. eine befahrene Straße, dass der Kleine ganz schön heftig zieht.
Ein Welpe wird ohne Halsband und Leine geboren. Er ist erst 9,5 Wochen auf der Welt.
Natürlich will er losrennen und versteht nicht, dass er festgebunden ist. Das Spazierengehen finde ich in diesem Alter zu früh.
Ich würde den Kleinen auf die nächste Wiese tragen, in einen Park. Das Spazierengehen an der Leine haben meine Welpen mit 5 Monaten gelernt, so lange bin ich ohne Leine spazierengegangen. Allerdings nicht in der Stadt, sondern auf Feldwegen.
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3.) Mir ist durchaus bewusst, dass Boston Terrier spritzige Hunde sind, voller Power. Aber der kleine Cooper kommt eigentlich nie zur Ruhe (bis auf, wenn er schläft).
Ja, das ist so. Sobald Welpen wach sind, geht es rund. 
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Wenn ich mit ihm erste Sitz Übungen machen möchte springt er mich an und versteht nicht, was ich von ihm möchte und haut irgendwann ab.
Du hast ein Baby. Der muss noch kein "Sitz" können. 
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Wenn wir etwas raufen, beisst er mich ziemlich fest.
Er muss erst lernen, seine Zähne im Spiel sanft einzusetzen. Am besten lernt er das mit gleichaltrigen Welpen (in der Welpenschule).
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Wenn er sein Lieblingsspielzeug hat, rammelt er es (mit 9 Wochen!!!).
Oh Gott, ein frühreifer Welpe.
Welpen probieren spielerisch alle!!!! hündischen Verhaltensweisen aus, auch das Rammeln.
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Und manchmal geht er in sein Körbchen und tickt komplett aus, dann "buddelt", kratzt und beisst er es so lange, bis die Fetzen fliegen. Ist das alles Welpen-typisch?
Ja.
Freu Dich, dass Du einen lebhaften Welpen hast. 
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4.) Seit einigen Tagen nimmt Cooper beim Gassigehen ausnahmslos ALLES in den Mund, was ihm über den Weg läuft. Pflanzen, Dreck, Steine, Müll. Gibt es da vielleicht auch einen kleinen Rat eurerseits?
Welpen erkunden die Welt mit den Zähnen, wie schon gesagt.
Gehe dort mit ihm "spazieren", wo nicht so viel Müll liegt. Pflanzen, Dreck, Steine, Grasbüschel, tote Frösche, Zweige dürfen meine Welpen ins Maul nehmen.
Wenn sie mal etwas Gefährliches erwischt haben, habe ich meine Hand vor das Maul gehalten und mit freundlicher Stimme gesagt: Zeig mal her, was Du da hast. Sie haben mir das dann in die Hand gespuckt. Also nicht alles wegnehmen. Welpen sind keine Selbstmörder.
