So nachdem du brav meine ganzen Fragen beantwortest hast ;), hier einige Gedanken dazu:
Ich denke, ihr habt ein ernsthaftes Problem.
Zuerst hätte ich auf irgendetwas gesundheitliches getippt. Aber du schreibst, das kann ausgeschlossen werden. Ich denke aber notfalls könnte eine 2. Tierarzt-Meinung nichts schaden. 
Ansonsten kann ich dir sagen, wie ich an die Sache herangehen würde, aber ich denke, eine ganz gute Idee wäre, wenn ihr einen guten Tiertrainer finden könntet, der zu euch nach Hause kommt. Der kann sich die Sache vor Ort anschauen und ist nicht auf Ferndiagnosen angewiesen, die wir hier nur leisten können. Zumal, wenn man bedenkt, dass die Kleine ein ehemaliger Laborhund ist. Was das bei ihr angerichtet hat, möchte ich mir gar nicht ausmalen.
Meine Vorgehensweise wäre, nachdem gesundheitliches zu 100 % ausgeschlossen ist, folgende:
Ich würde zweigleisig fahren.
Auf der einen Seite an dem Reinlichkeitsproblem arbeiten und andererseits sie geistig und körperlich mehr fördern.
Bzgl. der Förderung lies doch hier mal weiter. Und informiere dich etwas über das Thema. Denn so wie du selbst sagst, geschieht diesbzgl. bei euch recht wenig. Weil nur mit ein bisschen Spazierengehen ist es bei einem Hund im allgemeinen und einem Beagle im Speziellen nicht getan!
Bzgl. der Reinlichkeit würde ich auch verfahren wie bei einem Welpen. Da kannst du dich hier auch sicher stundenlang durch das Forum, Kategorie "Welpen/Junghunde" lesen.
Zudem würde ich ihren Radius in der Wohnung einschränken, d.h. sie hat nicht mehr Zugang zu jedem Zimmer, sondern nur noch zu ihrem Platz, den wird sie eher rein halten.
Ich hoffe, das konnte dir schon mal ein bisschen helfen!
LG Lexa