Erst mal: gut dass du nochmal beim TA warst, mein folgender Kommentar bezieht sich nun auf einen gesunden Welpen.
Welpen haben einen natürlichen Nachfolgetrieb. Das heißt sie wollen auf keinen Fall ihr Rudel verlieren weil sie wissen dass sie dann nicht überleben könnten. Meist ist es so, dass wenn der Welpe in sein neues Zuhause kommt er seinem neuen Rudel überall hin folgt.
Ist er eine bestimmte Zeit da hat optimaler Weise Vertrauen zu seinen neuen Menschen gefasst, fühlt sich in seinem neuen Zuhause sicher und weiß dass er hier geborgen ist und nicht verloren geht. Also hat er so viel Vertrauen dass er nicht verlassen wird dass er auch mal in seinem Körbchen liegen bleibt wenn man den Raum verlässt.
Das hat dann nichts mit schlapp zu tun
Ein Welpe schläft nun mal noch unheimlich viel, die neue Welt ist aufregend, und sogar ein für uns ruhiger Spaziergang liefert ihm so viele Eindrücke dass er die verarbeiten muss.
Deshalb rate ich dir auch nicht lange am Stück mit ihm zu gehen (ich weiß nicht wie viel du bisher machst?), sondern immer wieder nur kurz.
Eine andere häufige Verhaltensweise ist, dass der Welpe nicht von Zuhause weg möchte. Manche Welpen bleiben dann wie angeklebt sitzen und wollen nicht mit. Zu dieser Zeit ist die Bindung an den sicheren "Bau" noch stärker als zum Menschen. Aber auch diese Zeit geht vorbei und hat nichts mit einem kranken/schlappen Verhalten zu tun.