Von der Kastration würde ich auch eher abraten, viele Hunde neigen dann erst recht zu unsicherem/ängstlichen Verhalten.
Dass ihr einen Trainer hinzu zieht finde ich super! Ich hoffe es ist auch ein guter Trainer der was von seinem Handwerk versteht. Leider kommt man viel zu oft an Möchtegern-Hundeflüsterer. Also auch wenn ihr auf Hilfe angewiesen seid, wenn euch eine Methode komisch vor kommt und ihr ein schlechtes Gefühl dabei habt, dann sucht lieber nochmal weiter.
Vielleicht kann hier jemand einen kompetenten Trainer empfehlen, wenn ihr sagt wo ihr wohnt.
Zum Schnappen selber möchte ich eher keine Tipps geben, weil da einfach erstmal die Ursache geklärt werden muss. Anscheinend hat er mit dem Schnappen irgendwie Erfolg gehabt (z.B. Abstand zu den Personen vergrößert) und zeigt es deshalb eben häufiger. Ein Grundmisstrauen bestand ja schon.
Wichtig ist jetzt erstmal, dass ihr verhindert, dass sowas nochmal passiert. Finde es gut, dass ihr mit Maulkorb rausgeht und das auch bei Besuch gut managed. Allerdings würde ich überlegen, wie verlässlich er mit euren Kindern ist. Wenn ihr da den geringsten Zweifel habt, dann zieht ihm auch im Haus einen Maulkorb auf, oder verhindert den Kontakt, z.B. durch eine Box oder räumliche Trennung.
Sowas geht schneller als man denkt. Ich spreche da aus Erfahrung und dann den Hund als Beißer abzugeben ist eben sehr ungünstig und für den Hund blöder als ein Maulkorb. Wichtig halt, dass der gut sitzt. Er damit hecheln und trinken kann und auch Leckerlis nehmen.
Draußen würde ich versuchen kritische Situationen zu vermeiden, also Bögen gehen und Leuten ausweichen. Wenn er ruhig und entspannt ist, dann kannst du das ja belohnen.