Ich bin mir nicht sicher, ob der Mieterschutzbund in einem laufenden Verfahren tätig wird, wenn man sich deshalb anmeldet. Aber das wirst du ja erfahren. Wenn ich das richtig in Erinnerung habe, liegt die Jahresmitgliedschaft bei EUR 36 (also wirklich ein übersichtlicher Beitrag).
Was das Auseinanderklaffen der Kündigung und der angemahnten Hundeabschaffung angeht: Das würde ich aussitzen!! Deine Kündigung steht, da sieht man doch schon "die Lösung".
Selbst wenn der Vermieter rechtlich gehen dich vorgeht (was ich nicht glaube, weil der 1.1. ist nicht mehr soo weit weg und er kann damit auch die Nachbarn beruhigen): Die rechtlichen Mühlen mahlen l a n g s a m.
Bei der nächsten Wohnung unbedingt eine schriftliche Hundehaltungserlaubnis einholen!!! (Die kann zwar im Zweifelsfall widerrufen werden, aber du hast weitaus bessere Karten bei einer Auseinandersetzung)