Vieles von dem, was du beschreibst, ist für mich vollkommen normales Hundeverhalten, insbesondere für diesen Typ Hund (Terriermix, aus dem Ausland, seit 2 Monaten im neuen Zuhause). Du scheinst nur noch Schwierigkeiten zu haben, das Verhalten richtig zu deuten.
Ich kenne kaum einen Terrier, der nicht fröhlich allein auf Entdeckungsreise gehen würde, wenn er die Möglichkeit dazu hat. Egal wie toll es im neuen Zuhause ist: Terrier sind einfach dazu da, eigenständig rumzustromern. Das ist kein Hütehund oder Retriever.
Zumal Hunde aus dem osteuropäischen Ausland oft schon die Erfahrung gemacht haben, dass sie ganz wunderbar allein zurechtkommen. Wenn der Hund es bereits kennt, allein rumzuziehen, kriegst du das ganz schwer wieder raus. Da hilft nur, alles sofort ordentlich zu sichern.
Darüber hinaus stimme ich der Trainerin, die du kontaktiert hast, zu: Der Hund braucht nicht ordentlich gefordert werden, der wird mit ziemlicher Sicherheit schon ordentlich überfordert sein.
Überleg mal, was dein Hund bislang erlebt hat. Oder eher, was er nicht erlebt hat. Er kommt aus einer ganz anderen Lebenssituation und hat bislang komplett andere Dinge kennengelernt als das, was jetzt auf ihn einprasselt und was er jetzt eigentlich bräuchte, um sich zurecht zu finden. Der enge Kontakt zum Menschen, überhaupt mit dem Menschen zu kooperieren, geschweige denn zu spielen, gemeinsam mit nem Mensch draußen unterwegs zu sein, im Haus zu wohnen, in einer eng bebauten Nachbarschaft spazieren zu gehen, Autos, Straßenschilder, Mülltonnen, fremde Menschen und Hunde, Geräusche von Baulärm, Handys, TVs, … Die Liste ist endlos und die Chancen stehen hoch, dass dein Hund vieles davon in seinem alten Leben nie gelernt hat und dementsprechend überfordert ist, wenn das jetzt alles auf ihn einprasselt.
Schaffe dem Hund einen Rückzugsort, an dem er sich sicher fühlen kann, fahre dein Programm runter und bitte die Trainerin, die du kontaktiert hast, um einen Hausbesuch. Du kannst ja direkt dazusagen, dass es gar nicht ums Trainieren mit dem Hund geht, sondern du dir einfach Hilfe dabei wünschst, deinen Hund besser zu verstehen und sein Verhalten einzuordnen. Das habe ich damals, als mein Hund eingezogen ist, auch gemacht, weil die Trainerin eben auch aufgrund von Überforderung erstmal von Hundeschule und Training abgeraten hat. Sie ist dann gekommen, hat sich die Situation Zuhause angeschaut, mir einiges nochmal genauer erklärt und meine Fragen beantwortet. Mir persönlich hat das damals viel Sicherheit gegeben.