Einen (Mini-)Aussi würde ich nicht geschenkt haben wollen.
Die Leute schaffen sich die reihenweise an, weil die so schön aussehen, ohne sich mit dem Charakter zu befassen.
Ich kenne die als Hunde, um die man bei Spaziergängen lieber einen Bogen macht.
Der einzige Mini-Aussie, den ich kenne, ist genauso groß geworden, wie ein normaler Aussi und war schon immer ein ernsthafter Hund, der keine Führungsfehler verzeiht.
Der "frisst" Besuch, Radfahrer, Jogger, manche Hunde und spielende Kinder, und wird nach Beißvorfällen gegen die eigenen Halter nur noch mit Maulkorb geführt.
Die haben zwar nach mehreren Jahren mit der Hilfe mehrerer Trainer gelernt, wie man mit ihm im Alltag klar kommt, aber der ist definitiv nicht das, was man sich unter einem einfachen Familienhund vorstellt.
Der braucht auch Hundesport, um ausgelastet zu sein. Da muss man als Familie die Zeit für haben.
Wir hatten ähnliche Überlegungen, wie ihr, zwei Kinder (damals 12 und 15) und wollten einen Hund um die 40 cm.
Wir sind dann beim Kleinpudel gelandet. Unsere ist recht ängstlich, aber das ist nicht bei jedem Pudel so. Da muss man beim Züchter drauf achten. Sie hat Lust auf Tricks, usw.. Da hätten Deine Kinder sicher Spaß. 
Außerdem ist die Rasse meistens umgänglich, bzw. Territorialverhalten bekommt man leichter unter Kontrolle als beim Aussi. Jagdverhalten ist bei manchen Pudeln ein Thema, aber unsere lässt sich abrufen, wenn man früh genug reagiert und kann frei laufen (Außer wenn sie läufig ist. Dann hat das Gehirn Pause...)
Ansonsten würde ich vielleicht mal bei den gemäßigten Terriern gucken. Mit denen kennen sich andere hier aber besser aus.
Ich kenne auch einen sehr netten Tibet-Terrier. Das sind wohl eigentlich keine echten Terrier, aber das wäre eine Rasse, die ich mir näher anschauen würde, falls wir heute einen Hund kaufen wollen würden.
Diese ganzen kleinen Wuschelhunde finde ich auch oft ganz toll, aber die wollte bei uns der Rest der Familie nicht.