Du musst weder 24/7 für immer und ewig trennen, noch 24/7 alles beobachten. Das ist Quatsch.
Du trennst, wenn du nicht beobachten und sofort eingreifen kannst und lässt zusammen, wenn du das kannst. Ziemlich simpel. Das braucht Geduld.
Mit der Zeit musst du deine Regeln für das Zusammenleben klar machen - allen Tieren und kannst damit langsam die Zeiten zusammen ausdehnen, wenn es besser klappt.
Wenn deine Katze die Nähe sucht, heißt das eventuell: Neben dem warmen Hund liegen ist kuschlig. Aber, sie will in der Situation schlicht und einfach ihre Ruhe. Sie will dort liegen und nicht abgeleckt oder sonst wie bedrängt werden. Ist doch verständlich. Ich will auch nicht jedes Mal betatscht werden, wenn ich mich ins Bett lege. Das muss dein Hund lernen.
Rastet deine Katze hingegen aus, wenn sich der Hund einfach nur bewegt oder atmet - dann hat sie an ihm nichts verloren. Das muss sie dann lernen.
Dafür musst du aber erstmal lernen, das genau zu erkennen und im richtigen Moment sowie konsequent zu korrigieren. Das dauert.
Aus eigener Erfahrung: Ich hab Katzen dazu geholt, die Hunde nicht kannten und Hunde, die Katzen nicht kannten. Manche waren nach 1 Woche die besten Freunde. Andere habe ich auch nach 9 Monaten noch getrennt, wenn ich nicht anwesend war. Man braucht da Geduld, Wissen und Konsequenz. Und das kannst du dir alles aneignen.