Klingt für mich nach einem grenzenlosen Junghund, der mit allem durchkommt und mitnimmt, was geht
Also ja, normal ist der Hund schon, aber vermutlich führt ihr den nicht eng genug. Ich sehe da ein krasses Missverhältnis zwischen dem was die Tochter darf (dem Hund nicht vom Sofa helfen, weil Mister Jungspund unleidlich wird wenn man ihn an etwas hindert) und dem was der Hund darf (nach der Tochter schnappen).
Ich würd so ein Tierchen mal ein wenig eingrenzen, Ressourcen selber verwalten (was nicht heißen soll, dass ihr ihm sein Futter wegnehmt oder so einen Quatsch, aber ich würde möglichst wenig frei herum liegen lassen, sondern ihr teilt zu: Futter auf Freigabe nehmen, Spielzeug gebt ihr ihm wenn ihr Spielen wollte, wann er wohin geht bestimmt ihr (zB mehr über Türgitter oder wie auch immer)). Hausleine dran, damit ihr ohne diesen Respekt Zugriff habt auf das kleine Ding, denn diesen Respekt spürt er).
Macht ihr Deckentraining?
Draußen im Garten schleppleine dran. Ein Pudel ist bzw war ein Jagdhund, je nachdem wes für einen ihr da erwischt habt, findet der abhauende Katzen einfach sehr reizend, und ich würde mich NICHT darauf verlassen dass er nett bleibt wenn er die Mieze bekommt! Der ist erst 7 Monate, das wird nicht besser sondern intensiver. Und irgendwann möchte er ihnen ganz sicher etwas tun 
Also ja, normal ist das schon irgendwie wenn ihr ein willensstarkes Exemplar erwischt habt, aber es wird nicht von alleine besser! Einem Hund mit zu wenig oder unklaren Grenzen geht es nicht besonders gut, sondern er ist besonders überfordert.