Ich würde die besorgten Bürger einfach mal fragen, an welche Krankheiten sie da denken? (Ernstgemeint.)
Falls der Hund (illegal) ohne Impfschutz gegen Tollwut importiert wurde, dann besteht das Risiko, dass der Hund Tollwut hat und überträgt. Die Wahrscheinlichkeit für einen Tollwutfall ist nicht hoch, aber Tollwut ist quasi immer tödlich - ich würde selbst einem Hund aus dem Weg gehen, den ich für einen illegalen Import aus einem Land halte, in dem Tollwut nicht offiziell ausgerottet ist.
In Bezug auf die Mittelmeerkrankheiten halte ich die Angst vor Ansteckung von Hund zu Hund für unbegründet. Das wäre bei manchen Erkrankungen durch eine Übertragung von Blut möglich. Sowas passiert meinem Hund beim Gassi nicht 
Uns wurde bei der Vermittlung damals empfohlen, ~6-12 Monate nach der Einreise des Hundes mindestens ein großes Blutbild machen zu lassen; Test auf Mittelmeerkrankheiten ggf auch. Damals gab es bei Laboklin verschiedene Reiseprofile und ich hatte das machen lassen, in dem "alles" enthalten war.
Durch das Testergebnis nach einem Jahr habe ich rückwirkend verstanden, dass unsere Hündin eine (harmlose) Rickettsiose hatte. Sie hatte kurz nach ihrer Ankunft so eine Art Pusteln am Bauch, ich dachte damals sie reagiert auf Grasmilben.
Die anderen Tests waren negativ. :)