Eine akute Notsituation: Hund auf der Morgenrunde vor der Arbeit schwer gebissen o.ä. ist meiner Meinung nach eine komplett andere Sache als jetzt zu wissen, dass es in ein paar Tagen ein Problem gibt.
Auch nach dem plötzlichen Tod des Hundes kann man durchaus "arbeitsunfähig" sein - und nein, nicht als Betrug sondern als Zustandsbeschreibung "unfähig zu arbeiten".
Erfahrungen dieser Art (auch wenn du nach denen fragst) helfen dir hier nicht, denn deine Situation ist anders.
Dein Szenario lässt sich ja (kurzfristig) planen und genau das wirst du tun müssen. Evtl. ein oder zwei Tage unbezahlten Urlaub aushandeln, Überstunden abbauen etc. ... und danach wirst du deine Ansprüche bzgl. der Betreuung des kranken Hundes senken müssen. Entweder normale Tagesbetreuung in einem gesonderten Raum - oder irgendwen (Nachbar im Rentenalter?) in deiner Wohnung sitzen lassen, der dort den kranken Hund betreut.