Ja, es macht einen Unterschied. Die Krankenkasse übernimmt deshalb, weil eben in der Regel oft noch nicht klar ist, wer zuständig ist.
Aber es ist doch klar, wer zuständig ist. Der Verursacher bzw. seine Tierhalterhaftpflicht.
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Bei mir war es so, dass ich die Rechnung von der Klinik bekam und die dann an die Haftpflicht des anderen Halters weitergegeben habe.