Erst mal durchatmen und dann die Gedanken sortieren.
Ich wuerde als allererstes mit dem Vermieter sprechen. Wenn der keine Hund will, dann hat sich entweder die Frage eh geklaert, oder Ihr muesst umziehen. Ich wuerde nicht warten und mir Hoffnung machen, um dann zu hoeren, dass der Vermieter gar keine Hunde will.
Dann wuerde ich mich mit dem Mann zusammensetzen, das nochmal vernuenftig diskutieren, und eine endgueltige ja/nein Entscheidung faellen, die dann auch gilt.
Wenn Ihr Euch fuer "ja" entscheidet - Dann wuerde ich eine Liste machen mit Eigenschaften, die der Hund haben soll, solchen, die Ihr absolut nicht wollt, und solchen, wo Ihr Kompromisse machen wuerdet. (Groesse, Alter, Geschlecht, Haare, Vertraeglichkeit mit Kindern/Hunden/Katzen, Allein bleiben, Jagdtrieb, Auslaufbeduerfnis usw). Einfach alles, wozu Ihr Euch so Gedanken macht.
Dann wuerde ich anfangen, gezielt nach einem Hund zu suchen, der diese Eigenschaften erfuellt. Lasst Euch Zeit und ueberztuerzt nichts. Auch wenn der Jack Russell aus dem Nachbarort JETZT gut zu passen scheint - soooo selten tauchen die auch nicht in der Vermittlung auf. Wenn's jetzt halt noch nicht passt, dann seid geduldig.
Allergien - garantieren kann man da nie was. Aerzte empfehlen immer erst mal keine Haustiere. Aber Hundehaarallergien sind gar nicht soooo haeufig (Katzenhaare viel haeufiger). Vielleicht auch drauf achten, dass es vielleicht nicht grade eine Rasse ist, die extrem haart. Ich hatte auch eine Katzenhaarallergie als Teenager (hab mich desensibilisieren lassen), und auch mein Freund ist extrem allergisch gegen Katzen, aber zum Glueck geht es mit den Hunden gut :).
Vertraeglichkeit mit anderen Hunden und den Kindern - da Ihr ja einen erwachsenen Hund wollt koennt Ihr das vorher in aller Ruhe testen. Lasst Euch Zeit und nehmt den Hund erst zu Euch, wenn Ihr das Gefuehl habt, es passt alles.
Zum Thema "von privat" vs "Tierheim" - ich weiss, dass viele Leute das anders sehen, aber ich bin kein grosser Freund von Privatvermittlungen. Ein verantwortungsvolles Tierheim zeigt Interessenten auch die Negativseiten des Hundes auf. Die meisten Tierheime haben Freiwillige und Gassigeher, denen schon das ein-oder andere auffaellt. Bei privater Vermittlung ist die Chance hoeher, angelogen zu werden, schliesslich wollen die den Hund ja "loswerden". Ausserdem bietet ein gutes Tierheim Unterstuetzung an, falls es mal Probleme gibt oder wirklich nicht klappen sollte. Ich bin mit einer privaten Vermittlung einmal gehoerig auf die Nase gefallen, und wuerde es nicht wieder tun.