Entschuldige, wenn ich das überlesen habe :) aber wieso soll der Hund überhaupt alleine in den Garten? Ich würde das vermeiden, und zwar immer, solange er das Tor aufkriegt (die Schnapplösung wäre natürlich super). Sonst (wurde schon gesagt, oder?) in den Garten an die Schlepp. Würd ich aber auch nie unbeaufsichtigt tun, er könnte sich recht leicht verheddern.
Was mir sonst noch einfällt. Natürlich ist es sehr schade, dass deine Mutter/Familie und du erziehungstechnisch nicht an einem Strang zieht. Allerdings können Hunde in der Regel schon gut unterscheiden, was bei wem geht und was nicht. Wenn du also konsequent genug bist, dann sollte er zumindest bei dir gut hören können (zumal es ja auch recht intelligente Rassen sind), was er bei deiner Mutter macht, naja. Soll er halt betteln, nicht toll, aber auch kein Drama. Vielleicht sieht deine Mutter so auch, was man mit Training erreichen kann - wobei ich da nicht allzu viel erwarten würde, manche Menschen können sich einfach nicht gut in hündisches (Lern)Verhalten reindenken.
Ich find übrigens auch nicht, dass es so viel zu wenig Auslastung ist bzw ich bin nicht unbedingt überzeugt, dass das Abhauen ein so eindeutiges Indiz dafür sein soll. Du könntest/solltest mehr machen bzw. vll ein wenig geregelter, und vll mehr geistige Beschäftigung und weniger reines Rumbummeln.
Du kannst zb den Spaziergang interessanter gestalten, dann hast du keinen zeitlichen Mehraufwand - ist das momentan bei euch nur gemütliches Gassigehen? Du könntest hier auch Tricks einbauen, Suchspielchen (Leckerchen fallenlassen, suchen lassen..), ganz nebenbei und unregelmäßig (nicht ständig). Hat den Vorteil, dass dein Hund lernt, mehr auf dich zu achten.