Hallo,
freut mich wirklich zu hören, dass es bei euch so gut läuft 
Aber nimm dir den Tip von Ilona wirklich zu Herzen! Schaden an der Wirbelsäule durch reinrennen in die Leine passieren leider schnell.
Wenn du für den Kleinen kein passendes Hundegschirr findest, dann tut es auch eins für Katzen oder Frettchen. Hauptsache es sitzt richtig. 
Das mit dem Loben hast du gut gemacht, so ist es richtig.
Das mit dem Bellen, wenn du mit deiner Freundin kuschelst, solltest du auf jeden Fall unterbinden. Am besten du ignorierst den Hund und wartest bis er kurz aufhört, dann sofort loben! er soll merken, dass es für ihn besser ist wenn er ruhig ist.
Den auch wenn du den Hund lieb hast, sollte deine Freundin trotzdem an erster Stelle stehen 
Wegen dem Jagen: Am besten du liest dir mal einige Antijagdthreads im Forum durch. Jetzt ist es vielleicht noch lustig aber das ganze könnte sich zu einem großen Problem entwickeln. Wird es sicherlich, wenn du nichts dagegen tust.
Stell dir vor, dein Hund läuft frei und sieht auf der anderen Straßenseite einen Hasen oder Vogel oder ähnliches und er rennt rüber
Dein Ziel ist es ja sicherlich, dass der Hund irgendwann ohne Leine läuft und das geht nur mit gutem Antijagdtraining. Du kannst da gut mit einer schleppleine üben, dann hat der Hund schonmal etwas mehr Auslauf.
Ansonsten finde ich es super, dass du dir eine Trainerin suchst, die wird dir für dieses Problem auch sicherlich gute tips geben 
Viel Spaß noch mit dem Kleinen!