Ich würde an deiner Stelle ganz freundlich den Vermieter anrufen und um die Telefonnummer bitten. Sag ihm, du hast dich sehr in den Hund vernarrt und möchtest einfach mit ihr reden, das man dem Hund weitere Tage (vor allem Nächte) im Garten ersparen kann.
Dann rufst du sie an, ganz diplomatisch... Sagst ihr eben, du hast den Hund ins Herz geschlossen und würdest dich freuen, ihm ein neues zu Hause geben zu dürfen, wenn sie damit einverstanden ist. Und bitte um Erlaubnis ihn aus dem Garten zu holen, vllt. so geschmückt, das du ihr sozusagen den 'Aufwand' sparst, sich selbst her zu bemühen... sie wird sich den Vorwürfen des Vermieters ungern stellen, nehme ich an. Vor allem wenn du anbietest mit dem Übernahme/Schutzvertrag zu ihr zu fahren (bei 2 Kindern hat man erfahrungsgemäß wenig Zeit). Als Sahnehäubchen um ihr Gewissen zu beruhigen, kannst du ihr ja sagen, sie kann sich jederzeit nach dem Hund erkundigen (auf dem Vertrag ist ja eure Adresse/Telenummer) und wenn sie möchte, ihn sogar besuchen (wer sich über nen Jahr nicht um einen Hund geschert hat, wird auch nicht nach ihm sehen, wenn er weiß, das er gut untergebracht ist). Appeliere vllt. auch an ihr Gewissen mit den Kindern, sag das bei euch keine Kinder leben, das sie sich darum dann keine Sorgen mehr machen müsste...
Ich denke, so könnte man ein Größeres Drama vermeiden... So bitter sich das anhört, aber solche Menschen sind meistens sehr gut zu etwas zu bewegen, wenn man ihnen Honig ums Mäulchen schmiert... es beruhigt das Gewissen und die meisten Menschen wollen nicht hören, wie schlecht sie sind und was sie falsch gemacht haben. Da werden die meisten plötzlich ganz nachgiebig, weil sie das Gefühl haben, was Gutes getan zu haben (einem jungen Mensch z.B. den Wunschund 'geschenkt' zu haben^^)