Ich bin bisher nur innereuropäisch geflogen mit dem Hund im Frachtraum.
Wann der Hund eingecheckt wird, vor allem bis wann maximal, war dabei sehr unterschiedlich. Ich hab das jedes Mal vor Ort am Flughafen geklärt bzw. erfahren - das waren teils auch andere Angaben als es vorab am Telefon von der Fluggesellschaft gab. Von Hund gleich beim Einchecken einkassieren bis 10 Minuten vor unserer Check-In-Ende war alles dabei.
Insofern: Es kann am Flughafen überraschend kommen, wann der Hund abgegeben werden muss.
(Ich lasse sie deshalb sich noch mal lösen, bevor wir ins Flughafengebäude gehen. Wenn es gut läuft, gehen wir nach Bezahlen und Einchecken noch mal raus, aber falls es nicht dazu kommt, hat man die letzte Möglichkeit genutzt.)
Wir mussten bisher immer den Hund beim Einchecken bezahlen, das ging nicht wie die Flugtickets für uns vorab. Das braucht Zeit, teils sehr lange, weil man an verschiedene Schalter muss. Das Krasse daran: Der Flug wartet nicht. Auch wenn es nicht in der eigenen Hand liegt, man schlicht an den Schaltern warten muss (zB dass das Computerprogramm hochfährt). Wir haben in Hamburg fast den Flieger verpasst, weil das Bezahlen des Hundes so lange gedauert hat, wurden 3x ausgerufen, das war sehr unangenehm (nervlich).
Und das, obwohl wir 2 Std. vor unserer Boardingtime vor Ort waren...
Im Gegensatz zu Menschen gab es für den Hund bisher keine Online-Eincheckmöglichkeit (was ja uns Menschen echt Zeit und Nerven spart, sich vorher einzuchecken).
Meine Lehre daraus ist: Ich spare, egal wann der Flug ist, keine Zeit vorher, sondern bin sehr rechtzeitig und zur empfohlenen Zeit am Flughafen. Lieber warten als den Flieger hinterher zu hetzen oder gar zu verpassen.
Wir hatten den Hund immer im Vorfeld als Frachtgepäck angemeldet - nur ging Bezahlen halt erst vor Ort und dadurch kam es zu den zeitlichen Verzögerungen.
Nur mal so als kleine Vorwarnung (ich hätte von meiner ordentlichen Vorbereitung her nicht gedacht, dass es zu einer solchen zeitlichen Hetzerei und "Nervkram" kommen kann, dachte, ich hätte alles erledigt bzw. gut auf den Weg gebracht).
Zur Frage, ob der Hund auch mit an Bord ist:
Ich habe Joy sehr oft in ihrer Kiste auf dem Flugfeld gesehen, beim Ein- und Ausladen. Denn Tiere werden zuletzt eingeladen und zuerst wieder ausgeladen, sprich man sitzt selbst dann im Flieger und kann das mit Chance aus dem Fenster sehen. Ich hab das auch von (fremden) Mitreisenden gehört, als ich selbst nicht am Fenster saß: "Och, guck mal, da wird ein Hund verladen". Ich bin auch schon beim Aussteigen aus dem Flieger über das Flugfeld hin zur Hundekiste - das ist natürlich voll verboten
Oder ich hab mit Handzeichen (Daumen nach oben und fragendes Kopfnicken) das Personal auf dem Flugfeld, das mit der Kiste zugange war, angesprochen. Danach war ich immer beruhigter, hatte praktisch ein Lebenszeichen vom Hund 
Was das Wiederbekommen des Hundes angeht:
Auch das hat sich letztlich immer erst vor Ort ergeben, wo genau der Hund abgeholt wird bzw. einem rausgegeben wird. "Eigentlich" heißt es immer beim Sondergepäckschalter. Aber dann kann man vor Ort erfahren, dass es einen Sonderausgabe für Tiere gibt, man dort hin muss.
Parallel dazu kommen die eigenen Koffer an - (meist) woanders. Da ist es gut, wenn man nicht alleine ist und sich aufteilen kann: Einer wartet auf den Hund, der/die andere/n holt die eigenen Koffer.
Ich hab meine Joy immer schon gleich nach der Rückgabe aus der Kiste geholt, also noch im geschlossenen Flughafenbereich - war nie ein Problem! Trinken wollte sie dann nicht, dazu war sie zu aufgeregt, uns wiederzusehen.
Dass dein Hund die Kiste schon kennt, ist super! Das Schlimmste, was in meinen Augen passieren kann, ist dass der Hund an der Tür kratzt und sich da reinsteigert und dann stundenlang kratzt, sich ggf. dabei verletzt. Aber das passiert nicht, wenn der Hund die Kiste kennt und gewohnt ist, sich darin zu entspannen.
Guten Flug euch allen! Und ein schönes Wiedersehen nach der Landung!