Erstmal: Herzlichen Glückwunsch!
Es können und werden auch Häufig GANZ viele Fehler zwischen Kind und Hund gemacht! leider...daraus resultieren dann z.B. Beißunfälle oder Hunde werden sogar deswegen eingeschläfert... (hab ich bisher dreimal mitbekommen
)
Also wenn euer menschlicher Zuwachs auf der Welt ist kannst du z.B. Windeln oder Söckchen oder auch eine Decke/Handtuch welche nach Baby riecht aus dem KH mit nach Hause geben lassen und sie dem Hund geben damit er sich an den Geruch gewöhnen kann.
denn Hund teilhaben lassen an der Veränderung. Aufbauen von Babybett und Kommode/Wickeltisch. Evtl. renovieren des babyzimmers sowas.
Grenzt Hundi einfach nicht aus.
Eine Hebamme hat mir mal gesagt: "Baby auf den Boden legen und Hund drüberlecken lassen!" 
Soll einfach heißen, Baby gehört, genau wie Hund dazu.
Nichts ist schlimmer für den Hund wenn er bisher IMMER im Mittelpunkt stand und dann tut es das Baby. Oft dürfen die Hunde dann ncihtmal dran schnüffeln nicht ins Babyzimmer, nicht an die Wiege.
Haben weniger auslastung und laufen nur noch so mit.
Für den Hund unverständlich, willkürlich und schlimm und daraus können sich Eifersucht und Aversionen gegen das Kind entwickeln.
Das sollte man nicht auf die leichte Schulter nehmen.
Dem Kind von Anfang an das Wesen Hund näher bringen und auch wirklich den Umgang mit dem Hund als Lebewesen zeigen und vorleben.
Wenn DAS gut klappt, dann werden Kind und Hund bald mehr teilen als einem lieb ist 
Zum gassigehen, hast du nicht mal überlegt am Anfang ein Tragetuch zu benutzen?
Ich würde entweder ein Tuch oder eine Kiepe benutzen und keinen Wagen.
Ich finde die Dinger eh mistig und würde meinen Nachwuchs so lange es geht an meinem Körper mit mir rumschleppen.
In der Uni kann man z.B. nur schwerlich einen Wagen mitnehmen.
Unsere Mamis und auch Papis! haben deswegen ihre Lieblinge imemr im Tuch dabei und stillen auch während des Unterrichtes oder geben die Flasche, alles kein Problem.
Und ansonsten würde ich das am wagen gehen üben.Evtl. mit clicker erstmal das NEBEN dem gefährt stehen.
Dann das er frei läuft während du schiebst und dann locker nebenher das er die Angst bzw. den Respekt/Unsicherheit vor dem Teil verliert!
Am besten trocken üben ohne Kind. So hast du dann einfach mehr Aufmerksamkeit für deinen hund während des Übens.
Den Wagen wird es eh ja schon vorher geben 
Ich hoffe das hilft dir erstmal ein wenig weiter.
Nina