Erstmal: Es tut mir sehr Leid, dass Du diese schlimme Diagnose bekommen hast und ich wünsche Dir viel Kraft und natürlich, dass Du alles gut überstehst.
Was Deinen Hund angeht: Man sagt ja auch oft, dass Lieben heißt, auch loslassen zu können.
Man liest viele Schuldgefühle aus Deinem Text, verständlicherweise. Du bist gewissenhaft und gibst für die Tiere alles. Das Abgeben eines Tieres passt vermeintlich nicht in dieses Bild.
Aber sieh es vielleicht mal so: Die Gelegenheit mit der TÄ ist perfekt, auch noch zur perfekten Zeit. Deine Umstände sind durch Deine Gesundheit, den Vermieter und die wegfallende Betreuung richtig schwierig momentan. Durch die Abgabe (das Loslassen aus Liebe, mal pathetisch formuliert) sicherst Du ihm eine stabile Zukunft und gute Versorgung. Das ist kein WEGgeben, sondern ein ÜBERgeben in gute Hände.
Vielleicht ist es besser jetzt als wenn es gar nicht mehr geht und diese TÄ ihn dann vielleicht nicht mehr nehmen kann, weil sie bis dahin evtl. einen anderen Hund aufgenommen hat.
Es tut schrecklich weh, das kann ich verstehen. Aber ich könnte sehr gut verstehen, wenn Du Dich zu diesem Schritt entschließt.