Strafrechtlich würde man den Hund, der einen Einbrecher beißt, analog als gefährliches Werkzeug betrachten. Damit ist dessen ,Nutzung‘ - also das Beißen – ein Rechtfertigungsgrund, jedenfalls solange es nicht unverhältnismäßig wird.
Zivilrechtlich würden Schadensersatzansprüche schon an der Widerrechtlichkeit des Einbruchs scheitern.
Verhältnismäßig ist es ja nur, wenn dir unmittelbar Gefahr droht. Du darfst ja auch nicht einfach eine Brechstange nehmen und dem Einbrecher eins überziehen, wenn er sich nur für die Marmeladengläser und dein Fahrrad im Keller interessiert und du auch andere Möglichkeiten hättest (zum Beispiel dich im Bad einschließen und die Polizei holen).
Aber natürlich darf ich das. Treffe ich eine unbefugte Person ,Einbrecher‘ in meinen Räumlichkeiten an, darf ich diese zumindest kampfunfähig machen – also auch mit einer ,Brechstange einen überziehen‘. Ob diese Person tatsächlich nur mein Fahrrad klauen wollte, ist unerheblich.