Die TS-Verträge enthalten entweder Übernahme/Übernehmer als Begriffe.
Wenn explizit ein Eigentumsübergang genannt wird, spricht das für einen besseren Vertrag.
Schwammige Formulierungen bezüglich Orga und übernehmender Person, sind häufig.
In deiner Lage würde ich mir den Schuh, was die Orga vertragsrechtlich veranstaltet, gar nicht anziehen.
Für dich und den Hund bringt die Orga wesentliche Vorteile, nutze die, denn euch hilft das.
Außerhalb des DF kenne ich bestenfalls 2-3 Hundehalter, die sich der rechtlichen Problematik bei diesen Verträgen bewusst ist, alle anderen wollen Hund x - die Orga will abc, sind die sich einig, wird das Papier unterschrieben (egal, was da drin steht) und fertig.
Das ist die Realität außerhalb des DFs.