Ok. Dann wäre mein erster Tipp auch eine gute Hundeschule oder ein guter Hundetrainer, der auch so ein bisschen Theorie zu Hundeverhalten, Körpersprache etc. vermitteln kann. Und ein paar gute Bücher zum Thema - hast Du da schon was?
Dann würde ich beim Tierschutzverein nochmal anrufen und fragen, ob Dir jemand was zu den Abgabegründen erzählen kann. Gleich vor dem Hintergrund, dass Du trainieren möchtest und daher auch gleich wissen möchtest, auf was ggf. geachtet werden soll.
Zum Leinenpöbeln geb das mal als Suchbegriff hier ein - da findest Du hier Einiges an Ergebnissen.
Und was das Verhalten des Katers angeht: Irgendwann wehrt sich Dein Hund. Und wenn er schlau und nur ein bisschen kernig ist, dann macht er das so, dass es danach nichts mehr zu regeln gibt. Lass es bitte so weit nicht kommen und regel die Kontakte der Beiden - mach klar, dass der Kater nichts am Hund verloren hat und umgekehrt. Für Drinnen und Draußen gilt, dass Du Deinem Hund vermitteln solltest, dass Du die Situationen in Griff hast und steuerst. Das akzeptiert er, wenn Du ihm Schutz und Sicherheit gibst - und eine gute Zusammenarbeit.
Ach ja: Solltest Du mal irgendwann was zur „Dankbarkeit der Tierschutzhunde“ gehört haben: Vergiss es. Dankbarkeit ist ein menschliches Konzept, da können Tiere nichts mit anfangen.
Aber Hunde fügen sich gut in ein Plätzchen ein, wenn ihnen dieser Platz klar und fair vermittelt wird, sie merken, dass es sich für sie lohnt und sie sich da wohlfühlen. Da sie Gewohnheitstiere sind, funktioniert das meistens gut über Ruhe, Berechenbarkeit und Strukturen. Leckerchenregen können in der Anfangszeit nicht schaden, aber das Futter sollte es regelmäßig, in Ruhe und aus dem Napf geben. Kleine Spiele und gemeinsam gelöste kleine Aufgaben festigen die Freundschaft. Zu viel Beachtung verunsichert die meisten Hunde eher.
Das „erste Ankommen“ dauert seine Zeit, erfahrungsgemäß roundabout acht Wochen. In dieser Zeit hat Hund erstmal Kulturschock zu verdauen, deshalb sollte er auch nicht gleich mit zu vielen neuen Eindrücken überfordert werden. Wenn Du magst, dann schildere hier mal Euren Alltag.
Zum „Wanderpokal“: Es besteht die Möglichkeit, dass Euer Hund den Menschen nicht als verlässlichen Partner für Führung und Zusammenarbeit kennengelernt hat. Wenn das so ist: Kann er noch lernen, ist aber eine Aufgabe. Da würde ich unbedingt einen Trainer konsultieren.