Das TH muss idR gar nichts.
Viele Tierheime werden von gemeinnützigen Vereinen unterhalten, sind also private Organisationen, die höchstens Verträge zur Aufnahme von Fundtieren mit der entsprechenden Stadt/Gemeinde haben.
Und städtische Tierheime sind prinzipiell auch vor allem für Fundtiere zuständig - die/der TE ist ja nicht gezwungen, den Hund loszuwerden, er/sie will es nur gern (aus welchen Gründen auch immer).
Wenn eine behördliche Anordnung zur Abgabe ergangen wäre, dann müsste das TH den Hund nehmen, aber so ist es hier ja nicht.