Ich vermute, dass das je nach Gemeinde unterschiedlich ist.
In der Hundesteuersatzung der jeweiligen Gemeinde sollte das nachzulesen sein.
Bei uns zum Beispiel tritt die Steuerpflicht sofort bei bei Kauf des Tieres ein. (Innerhalb einer Woche muss der Hund gemeldet werden, wenn er schon älter als 3 Monate ist)
Übernimmt man den Hund aus einer Pflegesituation heraus (wie bei Octomill) hat man 2 Monate Zeit den Hund umzumelden. Vorrausgesetzt, der Hund ist noch steuerlich beim ehemaligen Besitzer gemeldet. Wenn nicht, gilt Regel 1 (also innerhalb einer Woche)