ich persönlich würde einen (großen) Windhund niemals an eine Schleppleine machen!
Die Verletzungsgefahr ist viel zu groß. Die Hunde sind darauf gezüchtet von jetzt auf gleich Hochgeschwindigkeit zu erreichen - das hält man nicht mehr einfach so!
Hat sich die Schleppleine dann noch um die Gliedmaßen des Hundes oder eines anderen Hundes/Menschen gewickelt, so sind (schwere) Verletzungen vorprogrammiert.
Ist der Windhund draußen ohne Leine nicht kontrollierbar, so gehört er mMn an eine Leine, die nur so lang sein darf, dass man ihn selbst in einem unaufmerksamen Moment noch halten kann - selbst, wenn der Hund im schlimmsten Fall vor/hinter einem am Ende der Leine steht und dann an einem vorbei sprintet, also die doppelte Leinenlänge Geschwindigkeit aufnehmen konnte.
Hat der Hund gelernt sich aus dem Geschirr zu befreien, sollte er doppelt gesichert sein, wobei das Halsband ein Zugstopphalsband sein sollte, das zusammengezogen wirklich knalleng sitzt! schiebe ich bei meiner Whippethündin das Zugstopphalsband an die dünnste Stelle des Halses, so bekomme ich es im normalen Zustand nur grade so bis zum Stopp geschlossen - springt sie allerdings in die Leine, weil sie wo hinterher möchte, hat es noch etwas Luft zwischen Hals und Halsband! Bei ihr ist das kein Problem, weil ihr Kopf etwas breiter als der Hals ist und sie nicht versucht auszubrechen, bei Windhunden, deren Hals gleich breit oder gar breiter als der Kopf ist, muss das Halsband dementsprechend enger sein. Wird das Halsband nur als Notfallsicherung genutzt, würde ich sogar zu einem stopplosen Zughalsband raten.
Auch ist es ein absoluter Irrglaube, dass (Wind-)Hunde andere Hunde nicht jagen. Das kann durchaus passieren, gerade bei Rassen, die z.B. zur Wolfsjagd eingesetzt wurden.
Allerdings gehe ich bei deiner Beschreibung erstmal nicht davon aus, dass das zwischen deinen Rüden kein Jagdverhalten war - vermutlich war das eher rückgerichtete Aggression/Übersprungsverhalten.
Da dein Hund allerdings schon einen Hundeartigen (Fuchs) getötet hat, solltest du mit Fremdhunden größte Vorsicht walten lassen.
Was die Trainerwahl angeht, stimme ich @GhAres zu. Ein Trainer, der sich mit Windhunden auskennt, wäre hier sicher die beste Wahl - grade, da sich der Text so liest, als ob schon mehr Baustellen bestehen (auch wenn diese nicht unbedingt als solche erkannt werden).
Außerdem täte es deinem Hund sicher gut, wenn er hin und wieder seiner Hetzleidenschaft nachkommen dürfte. Natürlich nur im legalen Rahmen! Also bei einem Renn- oder Coursingverein.
Die Reizangel dürfte für einen so großen Hund wie einen Galgo das Hetzbedürfnis kaum befriedigen können, sondern puscht ihn höchstens auf und belastet die Gelenke unnötig.