So wie ihr das macht, ist es auch richtig.
Treppen sollte man einen Welpen so oder so nicht laufen lassen (wegen der Gelenke und Knochen, die noch im Wachstum sind), da dies extrem belastend für den jungen Bewegungsapparat ist.
Das ein Welpe sich die ersten Wochen noch unsicher fühlt und instinktiv das sichere Zuhause nicht verlassen möchte ist normal. Tragt ihn ein Stück und lauft dann locker fröhlich mit ihm los. Ihr werdet sehen, bald kann es ihm nicht früh genug rausgehen 
Ich habe das Clickern mit 10/11 Wochen angefangen. Aber es ist grundsätzlich nicht so ausschlaggebend wann man damit beginnt, wobei man natürlich sagt, das junge Hunde das Prinzip schneller verstehen und später einfach gewisse Lernfortschritte älteren Hunden gegenüber haben, da sie das "Lernen" an sich schon ganz anders verstanden haben. Pauschalisieren kann man das aber sicher auch nicht.
Welcher Clicker dir liegt musst du ausprobieren. Ich habe einen gewählt, der sich leicht drücken lässt und der nicht so blechern und laut klingt, wollte meinen Welpen damit anfangs nicht so erschrecken. Praktisch sind auch die, die man in der Lautstärke verstellen kann. In der Wohnung reicht zum Beispiel ein Clicker der leise ist, draußen auf dem Spaziergang, wenn man vielleicht auch Verhalten clickern möchte, dass der Hund etwas vom HH entfernt zeigt, ist ein lauterer Clicker besser geeignet.
Ich würds einfach ausprobieren.
Wichtig am Anfang ist eine gute Konditionierung und das richtige Timing. Übung macht den Meister, viel Spaß
Und auch ein Hund vom Züchter kann länger brauchen um sauber zu werden. Ich hab hier auch so einen Spätzünder. Zuhause ist sie zwar jetzt so gut wie stubenrein, aber unterwegs fällt es ihr noch unheimlich schwer sich an fremden Plätzen zu lösen.
Einfach weitermachen. Allerdings solltest du dich schon ein bisschen mehr engagieren. Wenn du sie einfach draußen lässt und reingehst, weil es DIR zu kalt ist, wie soll sie denn dann lernen, dass es richtig ist, wenn sie sich draußen löst?
