Ich bin kein Anwalt, aber wenn ich es richtig im Kopf habe, kann er es nicht einfach verbieten, so lange der Zaun den örtlichen Baurichtlinien entspricht. Du musst ihn nur nach dem Auszug wieder entfernen.
Da könnte ein Anruf beim Mieterschutzbund helfen.
Ansonsten kanns Du ja mal die Nachbarn aufsuchen. Erklär ihnen, dass du einen jungen Hund hast und der Garten daher eingezäunt werden soll, damit dem Lütten und keinem anderes was passiert. Wenn sie dir unterschreiben, dass Sie nichts gegen einen Zaun haben, dann kannst du das dem Vermieter ja nochmal mitteilen.
Bei Hecken achte bitte auf die Mindestabstände zur Grundstücksgrenze.
Einen Garten am Haus finde ich für den Hund halbwegs sinnlos, wenn ich ihn nicht umzäunen darf.
Edit: 1000m² Garten vernünftig zu umzäunen ist arg teuer ...