Ich weiß nicht ob du dann den Hund so lange bei dir behalten darfst wenn du regulär kündigst. Von sowas habe ich noch nie gehört.
Vielleicht wurde das auch aus dem aspekt gesagt, weil du dann ja eh gekündigt hast und so mit dir der Vermieter nicht mehr viel kann. Da du dann nach 3 Monaten weg bist und etwas gegen den Hund zu unternehmen länger dauern könnte.
Also vom Gesetzt her denke ich mal nicht das es sowas gibt. Ich habes bis jetzt jedenfalls noch nicht im BGB gelesen.
Vielleicht kannste ihn dann fragen ob du ihn wenigstens die 3 Monate behalten darfst. Sollte er deine Wohnung betreten ohne dich vorher zu informieren und du dabei bist hat sich das eh geklärt. Es sei denn bei dir ist ein Wasserschaden und du bist nicht da oder so.
Viel Glück
Lg
Sacco