In Bezug auf höhere tiermedizinische Kosten ist das echt verrückt!
Man hat eine Versicherung damit insbesondere hohe Kosten abgedeckt sind, die man vielleicht nicht adhoc hätte. Und dann wenn der Fall eintritt fliesst kein Geld 
naja, das ist bei einer privaten Krankenversicherung für Menschen aber ja auch oft do, dass man erstmal auslegen muss und dann das Geld wieder bekommt.
Das längste, was ich mal warten musste (bei der Agila) waren 5 Tage
Das ist mit einer privaten Krankenversicherung für Menschen nicht vergleichbar. Denn idR schliesst man eine PKV ab wenn man das entsprechende Einkommen hat. Und bei grösseren Eingriffen (OP/Krankenhausaufenthalt/etc.) kann vorher eine direkte Kostenübernahme beantragt werden. Auf gar keinen Fall wird man nicht nicht behandelt, weil man nicht eine größere Summe direkt zahlen kann. Und idR bekommt man eine Rechnung über einen externen Anbieter, die man dann innerhalb von X Tagen zahlen muss. Genug Zeit sich mit der PKV in Verbindung zu setzen. Das die medizinische Versorgung zum erliegen kommt/stockt, weil man privat krankenversichert ist und keine 5.000€ direkt zahlen kann, da glaube ich nicht dran.
Eine KV für Tiere schliesst man idR ab weil man das Geld nicht anderweitig rumliegen hat und eine direkte Kostenübernahme gestaltet sich als nicht einfach - zumal der Eingriff planbar sein muss.
Und mag sein dass das maximale das Du mal warten musstest, 5Tage waren, aber wie du hier liest, sind auch mehrere Wochen keine Seltenheit.