Hi. Erstmal willkommen bei uns und von deiner tollen Mischung möchte ich später unbedingt Bilder sehen. 
Zu deinem Problem:
Mein Rüde hatte auch anfangs sehr starke Probleme mit dem Auto fahren, weil ihm im Auto ständig schlecht geworden ist. Auch zu dem Punkt, dass er nicht mehr einsteigen wollte und bockig wurde, sobald wir uns meinem Auto nährten.
Es ist keine Lösung das Problem zu umgehen, denn es gibt IMMER Situationen in denen es erforderlich sein wird, den Hund mit dem Auto zu transportieren!
Es ist schon mal gut, dass du eine Transportbox gekauft hast, denn das wird die Sache erleichtern. Denn einem Hund wird sehr oft deswegen schlecht, weil er nicht verarbeiten kann, dass draußen sich alles bewegt, er selber allerdings ruhig sitzt. Das ist ähnlich wie die Seekrankheit bei und Menschen.
Hauptpunkt, und das wars was meinem Hund damals geholfen hat, ist, dass der Hund daran gehindert wird nach draußen zu schauen. Es geht nicht von jetzt auf gleich weg, weil der Hund sich mittlerweile so reinsteigert in "Oh mein Gott, gleich gehts mir wieder schlecht. Gleich gehts mir wieder schlecht!" dass er gestresst ist und sich auf Grund dessen so aufregt, dass er sabbert und sich vielleicht auch erbrechen muss.
Ich habe mit meinem damals Nachtfahrten gemacht, weil ich keine Box hatte und auch das Auto nicht komplett verhängen konnte. Aber das allein hat ihm geholfen und eines Tages war die Übelkeit und die Angst vor dem Auto wie weg geblasen. Natürlich ist er nicht so entspannt wie meine Hündin, die das Autofahren als Welpe schon gelernt hat (das hatte mein Rüde leider nicht). Es kommt sehr selten vor, dass sich mein Rüde während der Fahrt zum Schlafen hinlegt oder so. Aber er hat keine Angst und Übelkeitsattacken mehr.
Also zusammen gefasst:
- hindere den Hund daran rauszuschauen!
- mach kurze Fahrten, am besten so kurz, dass er nicht erbricht (die Lernerfahrung soll ja sein: Mir wird nicht schlecht)
- steigere die Fahrtzeit allmählich.