Ich kapier nicht was so wirklich dein Problem ist... Der Vermieter hat eine Empfehlung ausgesprochen, die vielleicht nur geschrieben wurde, damit er beiden Parteien gerecht wird. So kann er zu deinem Nachbar sagen, er hat sich bei dir gemeldet und wegen einer Empfehlung hast du aber keinen Handlungsbedarf.
Nachfragen würde ich, ob dein Vermieter dir die Hundehaltung nachträglich schriftlich geben kann. Und dann würde ich in einem freundlichen Gespräch erwähnen, das die unter dir wohnende Familie auch nicht gerade leise ist.
Von meiner Erfahrung her - hier in dieser Wohnung, und in meinem Elternhaus - sind Nachbarn mit Migrationshintergrund oftmals viel toleranter als Deutsche und auch immer auf gute Nachbarschaft aus.
Was ich machen würde - ob du nun Schuld hast oder nicht - geh runter zu deinen Nachbarn und suche das Gespräch. Vielleicht habt ihr falsch angefangen und ein Gespräch kann das wieder hinbiegen.