Ich würde Dir einen Rucksack empfehlen. Es gibt auch welche mit ganz vielen Fächern, in die man alles schön reinverteilen kann und Du hast definitiv die Hände frei und mehr Bewegungsfreiheit. (Finde ich als langjährige nur-Tasche-Trägerin)
Am besten mal in einen Outdoorladen o.Ä. gehen und gucken, welcher Dir von der Größe und Fächeranzahl her gefällt und bequem sitzt!
Ich geh noch nicht Gassi, benutze aber für alles sonst im Alltag wenn ich mehr als Handy, Geldbeutel und Schlüssel brauche meinen 38l Wanderrucksack. Perspektivisch dann auch für größere Spazierrunden mit dem Hund. Der war eigentlich nur für den Urlaub gedacht, aber mit fast nix drin ist der entsprechend leicht und zusammenknautschbar, es passt aber auch mal etwas mehr rein, falls auf dem Heimweg noch ein Einkauf anliegt, es warm wird und man Pulli und Jacke nicht mehr braucht etc.. für den Alltag würden weniger Liter aber sicher reichen. Außerdem hat er neben dem großen Hauptfach noch 1 Innenfach, 2 Deckelfächer, 1 größeres Seitenfach, 1 Seitenfach für eine Flasche, 1 halboffenes "Nassfach" (gut für durchs feuchte Gras gezogene Schleppleinen?), 1 kleines Außenfach und jeweils eine kleine Tasche an jeder Hüftflosse. Man muss sich dann nur merken, was man wo reingepackt hat. 
Der Rucksack meines Freundes hat glaub sogar noch 1, 2 Fächer mehr.
Wichtig ist aber, daß der gut sitzt. Also Marke/Modell möchte ich garnicht empfehlen, das muss für Dich angenehm sein.