Unser Chihuahua kotet wenn er alleine ist in die Wohnung.

Es ist vielleicht vom Vorbesiter gut gemeint zu wissen, dass ein Hund mit dem Alleinesein vertraut ist,
jedoch ist das Umziehen zu einem neuen Hundehalter immer wieder ein neuer Anfang für den Hund, und somit ist es mir auch recht verständlich, dass euer Chihuahua durchaus eine leichte Trennungsangst empfindet, weil man ihm niemals wirklich anstandsgemäß beigebracht hat, allein zu sein ohne Herrchen (die Mutter des Vorbesitzer's muss es wohl wissen).

Gerade, weil ihr ihn erst seit 1 1/2 Wochen habt, muss er noch relativ viel Vertrauen in euch fassen.
Da du ihn selbst als sehr anhänglichen Hund beschreibst, würde es mich interessieren, ob er dir ständig folgt, und ob es auch mal Minuten oder Stunden gibt, wo er in Ruhe einmal auf seiner Decke o.Ä. liegt?!
Ein direktes Unterbinden wird es nicht geben und sollte er einmal im Zimmer gemacht haben - nicht den Hund in die Ecke weisen. Ich denke, es wäre sinnvoll ihn an das Alleinesein zu gewöhnen und das Schritt für Schritt.
Soll heißen, dass du ihn an kleinen, ansteigenden Zeitraffern vertraust, dass es durchaus normal ist, wenn du für einige Stunden einmal nicht für ihn da sein kannst. Sicherlich gibt es hier im Forum noch weitere Tipps dazu, in dem man es zusätzlich mit der Suchfunktion versucht.

Trennungsangst/Kontrollverlust liegen nah beieinander.
Da man nicht 100%-ig sagen kann, wo der Grund liegt, liegt es mir aber sehr nah, dass der Hund tatsächlich einen starken Drang hat deinen Freund auf Schritt und Tritt zu bewachen, sprich zu kontrollieren.
Deshalb würde ich ihm einen Platz zur Verfügung stellen, wo er sich getrost einmal zurückziehen kann. Ein Ort, wo er mal völlig abschalten kann - da reicht meistens schon eine Hundedecke/Körbchen, etc. Allerdings muss er auch seine Ecke beachten als sein gemütliches kleines Paradies.
Wie man ihm nun beibringt, dass es keinen Grund gibt sich um Herrchen sorgen zu machen, ist vielseitig.
Es gibt die berühmte Von-Raum-zu-Raum-Gehen-Technik, dass man mehrmals am Tag den Raum wechselt und die Tür kommentarlos hinter sich schließt (ohne das der Hund mitkommt) und für eine kurze Zeit darin verweilt - bis der Hund tatsächlich irgendwann einsieht, dass es keinen Sinn macht jeden Tag hinterherzurennen.
Andererseits kann man ihm auch versuchen seinen Platz schmackhaft zu machen durch Hinweisen, Leckerlie und vielen anderen Besonderheiten. Fakt ist, das beide Methoden viel Geduld fordern.