was ich ggf. noch vom potenziell neuen Arbeitgeber "verlangen" könnte
Verlangen kannst Du gar nichts.
Ein Hund ist Hobby und hat von daher keine Rechte im Arbeitsverhältnis.
Allein bleiben
Wie weit ist denn der potenzielle AG von Dir entfernt?
Könntest Du mittags nach Hause fahren?
Ansonsten Gassigänger organisieren.
Ich habe meine Arbeitszeit auf 30 Wochenstunden reduziert wegen der Hunde.
Mit 7 Stunden allein kommen sie gut klar.
Ich habe aber auch nur 4 km ins Büro und könnte im Notfall zwischendurch eben mal nach Hause.
Und mein AG ist da auch tolerant, was flexible AZ angeht.
Das kann man eben, wie gesagt, nicht einfordern.